Problema care se punea era aceea de a extrage din rezultatele experimentale, de tipul celor din schema de mai sus, regulile unei mecanici cat mai coerente; era, evident (initial), mai mult o arta de a ghici formulele juste, care sa se deosebeasca de cele clasice, dar care – la limita – sa treaca in ele conform principiului de corespondenta. Intr-o astfel de schema patratica, nu intervin, in nici un fel, parametrii geometrici si cinematici ai orbitelor electronilor. Reusind in tentativa sa de a afla, de a afla astfel de reguli, Heisenberg a proscris atunci reprezentarile clasice “intuitive” de orbita electronica cu raze si perioade de revolutie determinate si a cerut, ca aceasta mecanica sa fie construita – exclusiv – cu ajutorul schemelor patratice de tipul celei indicate. In loc sa se descrie miscarea prin coordonata data, ca functie de timp x (t), trebuie sa se determine doar tabela probabilitatilor de trecere .

Principiul decisiv din lucrarile lui Heisenberg este acela de a gasi o regula, care, pornind de la o schema data (matrice),

?₁₁ ?₁₂ ?_{13 …}

?₂₁ ?₂₂ ?_{23 …} ,

sa permita aflarea schemei patratelor,

(?² ) ₁₁ (?² ) ₁₂ (?² ) _{13 …}

(?² ) ₂₁ (?² ) ₂₂ (?² ) _{23 …} ,

sau, mai general, regula de inmultire pentru asemenea scheme. Cu ajutorul examinarii unor exemple cunoscute, gasite pe baza unor presupuneri, Heisenberg a stabilit aceasta regula. Prima aplicatie nebanala si importanta, din punct de vedere fizic, a mecanicii cuantice moderne, a fost realizata de W. Pauli, care a calculat, cu ajutorul metodei matriceale, marimile energiilor starilor stationare ale atomului de hidrogen si a gasit o coincidenta perfecta cu formulele lui Bohr.

Din acest moment, valabilitatea teoriei a fost considerata in afara de orice indoiala. Astfel a luat nastere mecanica matriceala, care a fost perfectionata ulterior de Bohr, Born, Jordan si N. Wienner, prin inlocuirea matricei cu conceptul general de operator, care face posibila si descrierea proceselor neperiodice. Nu functiile continue si derivatele lor sunt potrivite pentru reprezentarea matematica a marimilor fizice, spune Dirac, ci operatorii, care pot interpreta, atat un spectru continuu, cat si unul discret. S-a gasit, ca numai operatorii liniari hermitici satisfac cerintele impuse de reprezentarea matematica a marimilor fizice considerate. E.Schrödinger a putut demonstra ca formalismul mecanicii cuantice initiate de Heisenberg putea fi considerat ca o simpla transpunere algebrica a celui care conducea la mecanica ondulatorie; cele doua mecanici au, deci, o valoare matematica egala. Aceste mecanici au fuzionat undeva la varf, pe o platforma ezoterica, alcatuind ceea ce numim astazi mecanica cuantica moderna. Preluand unda asociata din mecanica ondulatorie si interpretand patratul acestei unde, ca densitate de … probabilitate, noua mecanica a gasit, in felul acesta, si interpretarea … fizica a formalismului sau matematic. In aceasta interpretare (“?coala de la Copenhaga”, condusa de N. Bohr), careia i s-au opus personalitati ca L. de Broglie, Einstein, E.Schrödinger si altii, nu mai exista – in fizica cuantica – decat legi de probabilitate, de probabilitate pura, fara nici un mecanism cauzal intern. Particula ia un aspect fantomatic: ea nu mai are nici o localizare permanenta in spatiu, nici o valoare data, in orice moment, a energiei si a cantitatii sale de miscare; in general, ea este prezenta, in stare potentiala, intr-o intreaga regiune a spatiului si este repartizata statistic, intre mai multe stari de miscare.